Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓分別與AB、AC邊相切于D、E兩點，連接OD．已知BD=2，AD=3．
求：（1）tanC；
（2）圖中兩部分陰影面積的和．

Answer 1

分析：（1）連接OE，得到∠ADO=∠AEO=90°，根據∠A=90°，推出矩形ADOE，進一步推出正方形ADOE，得出OD∥AC，OD=AD=3，∠BOD=∠C，即可求出答案；
（2）設⊙O與BC交于M、N兩點，由（1）得：四邊形ADOE是正方形，推出∠COE+∠BOD=90°，根據tanC=

2

3

，OE=3，求出EC=

9

2

，根據S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE，即可求出陰影部分的面積．

解答：解：（1）連接OE，
∵AB、AC分別切⊙O于D、E兩點，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四邊形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=3，
∴∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=

BD

OD

=

2

3

，
∴tanC=

2

3

．
答：tanC=

2

3

．

（2）如圖，設⊙O與BC交于M、N兩點，
由（1）得：四邊形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，
∵在Rt△EOC中，tanC=

2

3

=

OE

CE

，OE=3，
∴EC=

9

2

，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=

1

4

S圓O=

1

4

π×32=

9

4

π，
∴S_陰影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=

39

4

-

9

4

π，
答：圖中兩部分陰影面積的和為

39

4

-

9

4

π．

點評：本題主要考查對正方形的性質和判定，銳角三角函數的定義，扇形的面積，切線的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．