Question

【題目】如圖，在△OAB中，OA=OB，C為AB中點，以O為圓心，OC長為半徑作圓， AO與⊙O交于點E，直線OB與⊙O交于點F和D，連接EF．CF，CF與OA交于點G．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）求證：ODEG=OGEF；

（3）若AB=4BD，求sinA的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質，證明OC⊥AB即可；
（2）證明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解決問題；
（3）根據勾股定理和三角函數解答即可．

證明：（1）∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∴⊙O是AB的切線．

（2）∵OA=OB，AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OE=OF，

∴∠OFE=∠OEF，

∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，

∴∠AOC=∠OEF，

∴OC∥EF，

∴△GOC∽△GEF，

∴，

∵OD=OC，

∴ODEG=OGEF．

（3）∵AB=4BD，

∴BC=2BD，設BD=m，BC=2m，OC=OD=r，

在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2，

即（r+m）2=r2+（2m）2，

解得：r=1.5m，OB=2.5m，

∴sinA=sinB=.