Question

【題目】如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，OA⊥OB，C是半徑OB上一動點，連結AC并延長交⊙O于D，過點D作圓的切線交OB的延長線于E，已知OA＝8．

（1）求證：∠ECD＝∠EDC；

（2）若tanA＝，求DE長；

（3）當∠A從15°增大到30°的過程中，求弦AD在圓內掃過的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）DE的長為15；

（3）弦AD在圓內掃過的面積為

【解析】試題分析：(1)連結OD，已知DE是⊙O的切線，根據切線的性質可得∠EDC＋∠ODA＝90°，已知 OA⊥OB，可得∠ACO＋∠A＝90°，因OA＝OD，根據等腰三角形的性質可得∠ODA＝∠A，即可得∠EDC＝∠ACO，因∠ECD＝∠ACO，即可得∠ECD＝∠EDC．（2）因為tanA＝，即可得，求得OC＝2， 設DE＝x，可得CE＝x，所以OE＝2＋x，在Rt△ODE中，根據勾股定理可得OD2＋DE2＝OE2， 即可得82＋x 2＝（2＋x）2，解得x＝15，所以DE＝CE＝15． （3）過點D作AO的垂線，交AO的延長于F，當時， ，DF＝4，求得的面積，當時， ，DF＝4，求得，即可求得弦AD在圓內掃過的面積．

試題解析：

（1）證明：連結OD，

∵DE是⊙O的切線，∴∠EDC＋∠ODA＝900，

又∵OA⊥OB，∴∠ACO＋∠A＝900，

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∴∠EDC＝∠ACO，

又∵∠ECD＝∠ACO，∴∠ECD＝∠EDC．

（2）解：∵tanA＝，∴，∴OC＝2，

設DE＝x，∵∠ECD＝∠EDC，∴CE＝x，∴OE＝2＋x．

∴∠ODE＝900，∴OD2＋DE2＝OE2，

∴82＋x 2＝（2＋x）2，x＝15，∴DE＝CE＝15．

（3）解：過點D作AO的垂線，交AO的延長于F，

當時， ，DF＝4，

當時， ，DF＝4，

，