Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，E為BC邊中點，以AD為直徑的⊙O與AE交于點F．

（1）求證：四邊形AOCE為平行四邊形；

（2）求證：CF與⊙O相切；

（3）若F為AE的中點，求∠ADF的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）30°．

【解析】

試題分析：（1）根據矩形的性質得到AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，由E為BC邊中點，AO=DO，得到AO=AD，EC=BC，等量代換得到AO=EC，AO∥EC，即可得到結論；

（2）利用平行四邊形的判定方法得出四邊形OAEC是平行四邊形，進而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，進而得出答案；

（3）如圖，連接DE，由AD是直徑，得到∠AFD=90°，根據點F為AE的中點，得到DF為AE的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質得到DE=AD，推出△ABE≌△DCE，根據全等三角形的性質得到AE=DE，推出三角形ADE為等邊三角形，即可得到結論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，

∵E為BC邊中點，AO=DO，

∴AO=AD，EC=BC，

∴AO=EC，AO∥EC，

∴四邊形OAEC是平行四邊形；

（2）如圖1，連接OF，

∵四邊形OAEC是平行四邊形

∴AE∥OC，

∴∠DOC=∠OAF，

∠FOC=∠OFA，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∴∠DOC=∠FOC，

在△ODC與△OFC中，

，

∴△ODC≌△OFC（SAS），

∴∠OFC=∠ODC=90°，

∴OF⊥CF，

∴CF與⊙O相切；

（3）如圖2，連接DE，

∵AD是直徑，

∴∠AFD=90°，

∵點F為AE的中點，

∴DF為AE的垂直平分線，

∴DE=AD，

在△ABE與R△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE，

∴AE=DE，

∴AE=DE=AD，

∴三角形ADE為等邊三角形，

∴∠DAF=60°，

∴∠ADF=30°．