Question

【題目】如圖，點A在函數y=（x＞0）圖象上，過點A作x軸和y軸的平行線分別交函數y=圖象于點B，C，直線BC與坐標軸的交點為D，E．

（1）當點C的橫坐標為1時，求點B的坐標；

（2）試問：當點A在函數y=（x＞0）圖象上運動時，△ABC的面積是否發生變化？若不變，請求出△ABC的面積，若變化，請說明理由．

（3）試說明：當點A在函數y=（x＞0）圖象上運動時，線段BD與CE的長始終相等．

Answer 1

【答案】（1）B點坐標為（，4）；

（2）即△ABC的面積不發生變化，其面積為；

（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由條件可先求得A點坐標，從而可求得B點縱坐標，再代入y=可求得B點坐標；

（2）可設出A點坐標，從而可表示出C、B的坐標，則可表示出AB和AC的長，可求得△ABC的面積；

（3）可證明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的長可表示出EF，可得到BG=EF，從而可證明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．

解析：（1）∵點C在y=的圖象上，且C點橫坐標為1，

∴C（1，1），

∵AC∥y軸，AB∥x軸，

∴A點橫坐標為1，

∵A點在函數y=（x＞0）圖象上，

∴A（1，4），

∴B點縱坐標為4，

∵點B在y=的圖象上，

∴B點坐標為（，4）；

（2）設A（a，），則C（a，），B（，），

∴AB=a﹣=a，AC=﹣=，

∴S△ABC=ABAC=，

即△ABC的面積不發生變化，其面積為；

（3）如圖，設AB的延長線交y軸于點G，AC的延長線交x軸于點F，

∵AB∥x軸，

∴△ABC∽△EFC，

∴，即，

∴EF=a，

由（2）可知BG=a，

∴BG=EF，

∵AE∥y軸，∴∠BDG=∠FCE，

在△DBG和△CFE中

∴△DBG≌△CEF（AAS），

∴BD=EF．