Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=6，∠B=60°，∠D=90°，連結(jié)AC．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合）．過點(diǎn)P作PQ⊥BC交AB或AC于點(diǎn)Q，以PQ為斜邊作Rt△PQR，使PR∥AB．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，求線段PQ的長．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)點(diǎn)R落在線段AC上時(shí)，求t的值．
（3）設(shè)△PQR與△ABC重疊部分圖形的面積為S平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)點(diǎn)R到C、D兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，BP=t，

在Rt△PQB中，∵∠BPQ=90°，∠B=60°，

∴PQ=BPtan60°= t（0＜t≤3）

（2）解：如圖2中，

當(dāng)R落在AC上時(shí)，易知PC=RC=PQ，

在Rt△PQR中，∵∠PRQ=90°，PQ= t，∠PQR=60°，

∴PR=PQsin60°= t，

由BP+PC=6可得，t+ t=6，

解得t= s

（3）解：如圖3中．當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，重疊部分是△PQR．

S= QRPR= t t= t2．

如圖4中，當(dāng) ＜t≤3時(shí)，重疊部分是四邊形PMNQ．

S=S△PQR﹣S△RMN= t2﹣ [ t﹣（6﹣t）] [ t﹣（6﹣t）]=﹣ t2+15 t﹣18 ．

如圖5中，當(dāng)3＜t＜6時(shí)，重疊部分是△PQM．

S= S△PQC= （6﹣t） （6﹣t）= t2﹣3 t+9

（4）解：在圖3中，點(diǎn)R到C、D兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，則有 tsin60°= ×6× ，解得t=2．

在圖5中，點(diǎn)R到C、D兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，則有 （6﹣t） = 6 ，解得t=4．

綜上所述，t=2s或4s時(shí)，點(diǎn)R到C、D兩點(diǎn)的距離相等

【解析】（1）Rt△PQB中利用解直角三角形易求出線段PQ的長。
（2）當(dāng)R落在AC上時(shí)，易知PC=RC=PQ，在Rt△PQR中，利用解直角三角形求出PR= 3 2 t，由BP+PC=6，建立方程求出t的值。
（3）分三種情況進(jìn)行討論：如圖3中．當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，重疊部分是△PQR．根據(jù)三角形的面積公式，可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；如圖4中，當(dāng) ＜t≤3時(shí)，重疊部分是四邊形PMNQ，根據(jù)S=S△PQR﹣S△RMN即可求出結(jié)果；如圖5中，當(dāng)3＜t＜6時(shí)，重疊部分是△PQM．則S= S△PQC，即可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式。
（4）根據(jù)兩種情況在圖3和圖5中，根據(jù)點(diǎn)R到C、D兩點(diǎn)的距離相等建立方程求解即可。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解解直角三角形的相關(guān)知識，掌握解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．