Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+ 與x軸交于A(-3,0)，B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng).以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)Q在x軸上方）.設(shè)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ與四邊形AOCD重疊部分的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，連接AC，在第二象限內(nèi)存在點(diǎn)M，使得以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似.請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+ 經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，

∴ ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2﹣ x+ ；

則D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2， ）

（2）解：∵點(diǎn)D與A橫坐標(biāo)相差1，縱坐標(biāo)之差為 ，則tan∠DAP= ，

∴∠DAP=60°，

又∵△APQ為等邊三角形，

∴點(diǎn)Q始終在直線AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)可知：AP=AD= ．

①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，P在線段AO上，此時(shí)△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積．

AP=t，

∵∠QAP=60°，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為tsin60°= t，

∴S= × t×t= t2．

②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，如圖：

此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在OA上，

設(shè)QP與DC交于點(diǎn)H，

∵DC∥AP，

∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°，

∴△QDH是等邊三角形，

∴S=S△QAP﹣S△QDH，

∵QA=t，

∴S△QAP= t2．

∵QD=t﹣2，

∴S△QDH= （t﹣2）2，

∴S= t2﹣ （t﹣2）2= ﹣ ．

③當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖：

此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在線段OB上，

設(shè)QP與DC交于點(diǎn)E，與OC交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)Q作AP的垂涎，垂足為G，

∵OP=t﹣3，∠FPO=60°，

∴OF=OPtan60°= t﹣3），

∴S△FOP= × （t﹣3）（t﹣3）= （t﹣3）2，

∵S=S△QAP﹣S△QDE﹣S△FOP，S△QAP﹣S△QDE= t﹣ ．

∴S= t﹣ ﹣ （t﹣3）2= t2+4 t﹣ ．

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為

（3）解：∵OC= ，OA=3，OA⊥OC，則△OAC是含30°的直角三角形．

①當(dāng)△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時(shí)；如圖，過(guò)點(diǎn)M2作AO的垂線，垂足為N，

∵∠M2AO=30°，AO=3，

∴M2O= ，

又∵∠OM2N=M2AO=30°，

∴ON= OM2= ，M2N= ON ，

∴M2的坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

同理可得M1的坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

②當(dāng)△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時(shí)；如圖：

∵以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，

∴ ，或 = ，

∵OA=3，

∴AM= 或AM= ，

∵AM⊥OA，且點(diǎn)M在第二象限，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3， ）或（﹣3，3 ）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的所有可能的坐標(biāo)為（﹣3， ），（﹣3，3 ），（ ， ，（﹣ ， ）．

【解析】（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，求出拋物線的解析式，由拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，由頂點(diǎn)式得到D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由點(diǎn)D與A橫坐標(biāo)相差1，縱坐標(biāo)之差為 3 ，得到tan∠DAP= 3 ，∠DAP=60°，又△APQ為等邊三角形，得到點(diǎn)Q始終在直線AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出：AP=AD的值；①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，P在線段AO上，此時(shí)△APQ的面積即是△APQ與四邊形AOCD的重疊面積；②當(dāng)2＜t≤3時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q在AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在線段OB上，根據(jù)已知條件和三角形的面積公式，得到S與t之間的三種函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)已知可得△OAC是含30°的直角三角形，①當(dāng)△AMO以∠AMO為直角的直角三角形時(shí)，根據(jù)在直角三角形中，30度角所對(duì)的邊是斜邊的一半，求出M2的坐標(biāo)，同理可得M1的坐標(biāo)；②當(dāng)△AMO以∠OAM為直角的直角三角形時(shí)，以M、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，得到比例，求出AM的值，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).