Question

【題目】（1）如圖1，OP是∠MON的平分線，請利用該圖形畫一組以OP所在直線為對稱軸且一條邊在OP上的全等三角形，并用符號表示出來；

（2）請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

①如圖2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，試判斷BC和AC、AD之間的數量關系；

②如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）全等的依據是SAS；（2）BC=AC+AD；（3）AB=21．

【解析】

試題分析：（1）本題是用尺規作圖作出兩個全等的三角形：在OM、ON上截取相同長度的線段，在OP上任取一點A，構造全等三角形即可；

（2）如圖2，截取CE=CA，連接DE，根據角平分線的定義得到∠ACD=∠ECD，推出△CAD≌△CED，根據全等三角形的性質得到AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，根據三角形的內角和得到∠B=30°，即可得到結論；

（3）截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點H，同理△ADC≌△AEC，根據全等三角形的性質得到AE=AD=9，CD=CE=10=CB，由CH⊥AB，CE=CB，得到EH=HB設EH=HB=x，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解：（1）如圖1，作圖過程：以O為圓心任意長為半徑作弧，交射線ON，OM為C，B兩點，在射線OP上任取一點A（O點除外），連接AB，AC，

可得△AOB≌△AOC，

∵OB=OC，OA是公共邊，OP是角平分線∠AOB=∠AOC，

∴全等的依據是SAS；

（2）如圖2，截取CE=CA，連接DE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠ECD，

在△ACD與△ECD中，

，

∴△CAD≌△CED，

∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，

∵∠ACB=90°，∠A=60°，

∴∠B=30°，

∴∠B=∠EDB=30°，

∴DE=EB=AD，

∴BC=AC+AD；

（3）截取AE=AD，連接CE，作CH⊥AB，垂足為點H，

同理△ADC≌△AEC，

∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，

∵CH⊥AB，CE=CB，

∴EH=HB，

設EH=HB=x，

在Rt△ACH和Rt△CEH中

172﹣（9+x）2=102﹣x2，

解得：x=6，

∴AB=21．