Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2 ，以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F
（1）求∠ABE的大小及 的長(zhǎng)度；
（2）在BE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)G，使得 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)G的最短距離為2 ﹣2，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AE，如圖1，

∵AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E，

∴AE⊥BC，AE=AD=2．

在Rt△AEB中，

sin∠ABE= = = ，

∴∠ABE=45°．

∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABE=180°，

∴∠DAB=135°，

∴ 的長(zhǎng)度為 = ；

（2）解：如圖2，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：

當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時(shí)PG最短，

此時(shí)AG=AP+PG=2+2 ﹣2=2 ，

∴AG=AB．

∵AE⊥BG，

∴BE=EG．

∵BE= = =2，

∴EG=2，

∴BG=4．

過(guò)P作PM垂直BC于M，將PG沿PM翻折得G'，此時(shí)BG'=4﹣2×（2﹣√2）=2 ，點(diǎn)G′也滿足條件．

綜上，存在滿足條件的BG=4或2 ．

【解析】（1）連接AE，如圖1，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，進(jìn)而得到∠DAB，然后運(yùn)用圓弧長(zhǎng)公式就可求出 的長(zhǎng)度；（2）如圖2，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時(shí)PG最短，此時(shí)AG=AP+PG=2 =AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EG，只需運(yùn)用勾股定理求出BE，就可求出BG的長(zhǎng)，再根據(jù)對(duì)稱性求出G′．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)定理和弧長(zhǎng)計(jì)算公式，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的即可以解答此題．