Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線y= x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣ ，且經過A，C兩點，與x軸的另一個交點為點B．

（1）求拋物線解析式．
（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求四邊形PAOC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：y= x+2中，當x=0時，y=2，當y=0時，x=﹣4，

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=﹣ 對稱，

∴點B的坐標為1，0）．

∵拋物線y=ax2+bx+c過A（﹣4，0），B（1，0），

∴可設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

又∵拋物線過點C（0，2），

∴2=﹣4a

∴a=﹣

∴y=﹣ x2﹣ x+2．

（2）

解：設P（m，﹣ m2﹣ m+2）．

如圖1，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ=﹣ m2﹣ m+2﹣（ m+2）

=﹣ m2﹣2m，

∵S四邊形PAOC=S△AOC+S△PAC= ×4×2+ ×PQ×4=2PQ+4=﹣m2﹣4m+4=﹣（m+2）2+8，

∴當m=﹣2時，△PAC的面積有最大值是8，

此時P（﹣2，3）．

（3）

解：如圖2，

，

在Rt△AOC中，AC= =2 ，在Rt△BOC中，BC= = ，

∵AC2+BC2=20+5=25=AB2，

∴∠ACB=90°，CO⊥AB，

∴△ABC∽△AOC∽△CBO，

①若點M在x軸上方時，當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC．

根據拋物線的對稱性，當M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC；

②若點M在x軸的下方時，設N（n，0），則M（n，﹣ n2﹣ n+2），

∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4，

當 = ，即 = = = 時，MN= AN，即 n2+ n﹣2= （n+4），

化簡，得n2+2n﹣8=0，

n1=﹣4（舍），n2=2，M（2，﹣3）；

當 = ，即 = = =2時，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2（n+4），

化簡，得n2﹣n﹣20=0，

解得：n1=﹣4（舍去），n2=5，

∴M（5，﹣18），

綜上所述：存在點M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】（1）先求的直線y= x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x﹣1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；（2）設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面積公式可求得S四邊形PAOC=S△AOC+S△PAC=2PQ+4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；（3）根據兩個角對應相等得兩個三角形相似，可得M1 ， 根據拋物線的對稱性，可得M2 ， 根據對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得關于n的方程，根據解方程，可得答案．