Question

如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點O為坐標原點建立坐標系，設P，Q分別為AB，OB邊上的動點，它們同時分別從點A，O向B點勻速運動，速度均為1厘米/秒，設移動的時間為t（0≤t≤4）秒．
（1）求運動t秒時，P，Q兩點的坐標．（用含t的式子表示）．
（2）若△OPQ的面積為Scm²，運動的時間為t秒，求S與t之間的函數關系式．當t為何值時，S有最大值？最大面積是多少？
（3）當t為何值時，直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分？
（4）按此速度運動下去，△OPQ能否成為正三角形？若能，求出時間t；若不能，請說明理由．能否通過改變Q點的速度，使△OPQ成為正三角形？若能，請求出改變后Q的速度和此時t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，再根據平行線分線段成比例定理列出比例式；由勾股定理求出AB=5，而AP=t，根據比例式求出AM、PM的值，P點坐標即可得到，由
（2）根據三角形的面積公式，P點縱坐標與OQ的長度的積的一半就是△OPQ面積，整理后根據二次函數的最值問題求解即可；
（3）因為S_△ABO=OA×OB=×3×4=6，又S_△PQB=BQ×Py=×（4-t）（3-t），若直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分
則當×（4-t）（3-t）=×6或×（4-t）（3-t）=×6，分別求出符合題意的t值即可；
（4）按此速度運動下去，△OPQ不能成為正三角形根據正三角形的性質PN垂直平分邊OQ，所以無論t為何值時，△OPQ都不可能為正三角形；改變Q點速度根據正三角形的性質，0Q=2ON，PN=OQ，分別列式求解即可得到Q點運動速度和時間t．
解答：解：（1）作PM⊥OA于M，則PM∥OB，
∴AM：AO=PM：BO=AP：AB，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴在Rt△OAB中，AB==5=5cm，
∵AP=1•t=t，
∴，
∴PM=t，AM=t，
∴OM=OA-AM=3-t，
∴點P的坐標為（t，3-t），
∵Q點的運動速度是速度為1厘米/秒，
∴OQ=1×t，
∴Q的坐標是（t，0）；
（2）OQ=1•t=tcm，
∴S_△OPQ=×t×（3-t）=-（t-）²+，
∵a=-＜0，
∴當t=時，S_最大=；
（3）∵S_△ABO=OA×OB=×3×4=6，
又S_△PQB=BQ×Py=×（4-t）（3-t），
當×（4-t）（3-t）=×6時，則t=（舍去）或；
當×（4-t）（3-t）=×6時，則t=（舍去）或，
∴當t=或時，直線PQ將△AOB的面積分成1：3兩部分；
（4）按此速度運動下去，△OPQ不能成為正三角形，理由如下：過點P作PN⊥OQ，
∵OP²=PN²+ON²=PN²+（t）2，QP²=PN²+QN²=PN²+（t）2，
要使△OPQ成為等邊三角形，則PN²+（t）²=PN²+（t）2，
∴t=0，但此時不存在三角形，
∴按此速度運動下去，△OPQ不能成為正三角形，
設Q點運動的速度為k，若△OPQ為正三角形，則OP=PQ=OQ，OQ=2ON，
∴kt=2×t，k=，
此時PN=OP•sin60°=OP=OQ，
即：3-t=×t，
解得：t=，
∴當Q的運動速度為cm/s是，△△OPQ成為正三角形，此時t=．
點評：此題考查了勾股定理、相似三角形對應邊成比例的性質、等邊三角形的高與底邊的性質，二次函數最值問題以及相似三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是數形結合思想與函數思想的應用，注意輔助線的作法，只要肯于動腦也不難解決．