Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，1）的拋物線交y軸于點A，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知C點坐標為（6，0）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間．問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積；

（3）連接AB，過點B作AB的垂線交拋物線于點D，以點C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切，先補全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x﹣3．（2）P點的位置是（3，），△PAC的最大面積是．（3）P點的位置是（3，），△PAC的最大面積是．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線頂點為（4，1），可設出其頂點式y=a（x﹣4）2+1，將C點（6，0）代入其中即可求得a的值；

（2）設出P點坐標（m，﹣m2+2m﹣3），用含m的多項式來表示出△PAC面積，根據解極值問題即可得出△PAC的面積取最大值時P點的坐標，以及最大面積值；

（3）如圖做好輔助線，借助于相似三角形的比例關系求出C到直線BD的距離，再與⊙C半徑進行比較，即可得出結論．

（1）解：∵拋物線的頂點為（4，1），

∴設拋物線解析式為y=a（x﹣4）2+1．

∵拋物線經過點C（6，0），

∴0=a（6﹣4）2+1，解得a=﹣，

∴y=﹣（x﹣4）2+1=﹣x2+2x﹣3．

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+2x﹣3．

（2）解：如圖1，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q，

∵A（0，﹣3），C（6，0），

∴直線AC解析式為y=x﹣3．

設P點坐標為（m，﹣m2+2m﹣3），

則Q點的坐標為（m，m﹣3），

∴PQ=﹣m2+2m﹣3﹣（m﹣3）=﹣m2+m，

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6=﹣（m﹣3）2+，

∴當m=3時，△PAC的面積最大為．

∵當m=3時，﹣m2+2m﹣3=，

∴P點坐標為（3，）．

綜上：P點的位置是（3，），△PAC的最大面積是．

（3）判斷直線BD與⊙C相離．

證明：令﹣（x﹣4）2+1=0，解得x1=2，x2=6，

∴B點坐標（2，0）．

又∵拋物線交y軸于點A，

∴A點坐標為（0，﹣3），

∴AB==．

設⊙C與對稱軸l相切于點F，則⊙C的半徑CF=2，

作CE⊥BD于點E，如圖2，則∠BEC=∠AOB=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠CBE=90°﹣∠ABO．

又∵∠BAO=90°﹣∠ABO，

∴∠BAO=∠CBE．

∴△AOB∽△BEC，

∴=，

∴=，

∴CE=＞2．

∴直線BD與⊙C相離．