Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE.易證:CE=CF.

(1)在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=450.試猜想GE，BE，GD三線段之間的數量關系，并證明你的結論.

(2)運用(1)中解答所積累的經驗和知識，完成下面兩題：

①如圖2，在四邊形ABCD中∠B=∠D=900，BC=CD，點E，點G分別是AB邊，AD邊上的動點.若∠BCD=α，∠ECG=β，試探索當α和β滿足什么關系時，圖1中GE，BE，GD三線段之間的關系仍然成立，并說明理由.

②在平面直角坐標中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N(如圖3).設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？若不變，請直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）GE=BE+GD，證明見解析；（2）①α=2β，理由見解析；<span style="color: rgb(169, 68, 66); font-family: Meiryo; font-size: 15.3333px; line-height: 23px; background-color: rgb(245, 245, 245);">②</span>在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）易知△CBE≌△CDF，易證得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，繼而可得GE=BE+GD；（2） ①α=2β，延長AD到F點，使DF=BE，連接CF，可證△EBC≌△FDC，即GE=BE+GD；②在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化．延長BA交y軸于E點，可以得出△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN，p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．

試題解析：

（1）∵在△EBC和△FDC中，∴△EBC≌△FDC，∴∠DCF=∠BCE，

∵∠GCE=45°，∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°，即∠DCG+∠DCF=45°，∴GC=GC，ECG=∠FCG，

在△ECG和△FCG中，，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，即GE=BE+GD．

（2）①α=2β．如圖，

延長AD到F點，使DF=BE，連接CF，可證△EBC≌△FDC，

則∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，可證△ECG≌△FCG，故EG=GF，即GE=BE+GD．

②在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化．

證明：如圖，

延長BA交y軸于E點，則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN．

在△OAE和△OCN中，．∴△OAE≌△OCN（ASA）．∴OE=ON，AE=CN．

在△OME和△OMN中．∴△OME≌△OMN（SAS）．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．

∴在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化．