Question

【題目】已知：如圖，BE、BF分別是∠ABC與它的鄰補角∠ABD的平分線，AE⊥BE，垂足為點E，AF⊥BF，垂足為點F，EF分別交邊AB、AC于點M和N．求證：
（1）四邊形AFBE是矩形；
（2）MN=BC．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵BE、BF分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∵AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F為垂足，
∴∠AFB=∠AEB=90°，
∴四邊形AEBF為矩形；
（2）∵四邊形AEBF為矩形，
∴BM=MA=ME，
∴∠2=∠5，
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠5，
∴ME∥BC，
∵M是AB的中點，
∴N為AC的中點，
∴MN=BC．

【解析】（1）由BE、BE是角平分線可得∠EBF是90°，進而由條件中的兩個垂直可得兩個直角，可得四邊形AEBF是矩形；
（2）由矩形的F質可得∠2=∠5進而利用角平分線的性質可得∠1=∠5，可得ME∥BC，進而可得N為AC中點，根據三角形中位線性質求出即可．
【考點精析】本題主要考查了三角形中位線定理的相關知識點，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．