Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D為BC邊的中點，以AD上一點O為圓心的⊙O和AB、BC均相切，則⊙O的半徑為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：過點0作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．
∵AB、BC是⊙O的切線，
∴點E、F是切點，
∴OE、OF是⊙O的半徑；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC邊的中點，
∴S△ABD=S△ACD ，
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD ，
∴ ABOE+ BDOF= CDAC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE= ，∴⊙O的半徑是 ．故答案為： ．
過點0作OE⊥AB于點E，OF⊥BC于點F．根據切線的性質，知OE、OF是⊙O的半徑；然后由三角形的面積間的關系（S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD）列出關于圓的半徑的等式，求得圓的半徑即可．本題考查了切線的性質與三角形的面積．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．