Question

【題目】如圖，等邊△ABC的邊長為12，D，E為BC的三等分點，M，N分別為AB，AC上的動點，則四邊形DENM周長的最小值是_________.

Answer 1

【答案】20

【解析】

作D點關于AB的對稱點D’、E點關于AC的對稱點E’，連接D’E’分別與AB和AC交于M’和N’，則當M點運動至M’點、N點運動至N’點時，DM+MN+NE的最小值為D’E’，此時四邊形DMNE的周長最小；分別作CC’⊥D’E’、BB’⊥D’E’，由對稱及等邊△ABC易知△N’CE’和△BM’D’均為等邊三角形，由此可求解出D’E’的長度，進而求解四邊形的周長.

解：作E點關于AC的對稱點E’，過E’點作BC的平行線交AC于N’、交AB于M’，在直線E’M’上取D’點，連接BD’使BD’=BD，則當M點運動至M’點、N點運動至N’點時，DM+MN+NE的最小值為D’E’，此時四邊形DMNE的周長最小；

由對稱性可知，∠N’CE=∠N’CE’=60°，

∵E’N’∥BC，

∴∠E’N’C=∠N’CE=∠N’CE’=60°,

∴△N’E’C是等邊三角形，

∵E’D’∥BC，CE’=BD’，

∴四邊形BCE’D’是等腰梯形，

∴∠D’=60°，

∵E’N’∥BC，

∴∠D’M’B=∠M’BD=60°，

∴△D’M’B是等邊三角形，

分別作CC’⊥D’E’、BB’⊥D’E’，由圖可知，D’E’長度等于BC長度再加上△N’E’C(或△D’M’B)的邊長，則D’E’=12+4=16，

則四邊形DENM周長的最小值=16+4=20.

故答案為：20.