Question

【題目】如圖①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于點H，點D在AH上，且DH=CH，連結BD．

（1）求證：BD=AC；
（2）將△BHD繞點H旋轉，得到△EHF（點B，D分別與點E，F對應），連接AE．
①如圖②，當點F落在AC上時，（F不與C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的長；
②如圖③，當△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到時，設射線CF與AE相交于點G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在Rt△AHB中，∠ABC=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

，

∴△BHD≌△AHC，

∴BD=AC，

（2）

解：①如圖，

在Rt△AHC中，

∵tanC=3，

∴ =3，

設CH=x，

∴BH=AH=3x，

∵BC=4，

∴3x+x=4，

∴x=1，

∴AH=3，CH=1，

由旋轉知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，

∴∠EHA=∠FHC， ，

∴△EHA≌△FHC，

∴∠EAH=∠C，

∴tan∠EAH=tanC=3，

過點H作HP⊥AE，

∴HP=3AP，AE=2AP，

在Rt△AHP中，AP2+HP2=AH2，

∴AP2+（3AP）2=9，

∴AP= ，

∴AE= ；

②由①有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=90°，

∴△AGQ∽△CHQ，

∴ ，

∴ ，

∵∠AQC=∠GQE，

∴△AQC∽△GQH，

∴ =sin30°=

【解析】（1）先判斷出AH=BH，再判斷出△BHD≌△AHC即可；（2）①先根據tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根據△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；②先判斷出△AGQ∽△CHQ，得到 ，然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可．此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，勾股定理，銳角三角函數的意義，等腰三角形的判定和性質，解本題的關鍵是相似三角形性質和判定的運用．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．