Question

【題目】(1)如圖①，△ABC是等邊三角形，△ABC所在平面上有一點P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，問：具有這樣性質的點P有幾個？在圖中畫出來．

(2)如圖②，正方形ABCD所在的平面上有一點P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，問：具有這樣性質的點P有幾個？在圖中畫出來．

Answer 1

【答案】（1）10個（2）9個

【解析】試題分析:（1）點P在三角形的內部時,點P到△ABC的三個頂點的距離相等,點P是三角形三邊垂直平分線的交點,所以點P是三角形的外心;點P在三角形外部時,每條邊的垂直平分線上的點只要能夠使頂點這條邊的兩端點連接而成的三角形是等腰三角形即可.

（2）根據正方形的性質可得,滿足這樣的點首先有:兩條對角線的交點,再以四個頂點為圓心,以正方形的邊長為半徑畫圓,在正方形里面和外面的交點一共有8個.

試題解析:具體作法如下,

（1）10個,如解圖①,當點P在△ABC內部時,P是邊AB,BC,CA的垂直平分線的交點;當點P在△ABC外部時,P是以三角形各頂點為圓心,邊長為半徑的圓與三條垂直平分線的交點,每條垂直平分線上得3個交點.故具有這樣性質的點P共有10個.

(2)9個,如解圖②,兩條對角線的交點是1個,以正方形各頂點為圓心,邊長為半徑畫圓,在正方形里面和外面的交點一共有8個,故具有這樣性質的點P共有9個.

點睛:本題主要考查垂直平分線的性質,正方形性質,等腰三角形的性質,要求學生熟練掌握利用垂直平分線的性質,正方形和等腰三角形的性質找出符合條件的點.