Question

【題目】(1)（操作發現）

如圖 1，在邊長為 1 個單位長度的小正方形組成的網格中，ABC 的三個頂點均在格點上．現將ABC 繞點 A 按順時針方向旋轉 90°，點 B 的對應點為 B′，點 C 的對應點為 C′， 連接 BB′，如圖所示則∠AB′B＝ ．

（2）（解決問題）

如圖 2，在等邊ABC 內有一點 P，且 PA＝2，PB＝ ，PC＝1，如果將△BPC 繞點 B 順時針旋轉 60°得出△ABP′，求∠BPC 的度數和 PP′的長；

（3）（靈活運用）

如圖 3，將（2）題中“在等邊ABC 內有一點 P 改為“在等腰直角三角形 ABC 內有一點P”，且 BA=BC,PA＝6，BP＝4，PC＝2，求∠BPC 的度數.

Answer 1

【答案】（1）如圖1所示，見解析；45°；（2）∠BPC＝150°，PP′＝；（3）∠BPC＝135°.

【解析】

（1）根據旋轉角，旋轉方向畫出圖形即可，只要證明△ABB'是等腰直角三角形即可；

（2）根據旋轉的性質，可得△P'PB是等邊三角形，由等邊三角形的性質即可求出PP'的長；而△PP'A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP'B=150°，從而得出結論；

（3）將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB，與（1）類似：可得：∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，求出∠BEP=45°，根據勾股定理的逆定理求出∠AEP=90°，即可得出結論．

如圖1所示，連接BB'，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，

∴AB=AB'，∠B'AB=90°，∴∠AB'B=45°．

故答案為45°；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

將△BPC繞點B順時針旋轉60°得出△ABP'，如圖2，

∴AP'=CP=1，BP'=BP=，∠PBC=∠P'BA，∠AP'B=∠BPC．

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPP'是等邊三角形，

∴PP'=，∠BP'P=60°．

∵AP'=1，AP=2，

∴AP'2+PP'2=12+（）2 =4，AP2=22=4，

∴AP'2+PP'2=AP2，

∴∠AP'P=90°，則△PP'A是直角三角形，

∴∠BPC=∠AP'B=90°+60°=150°；

（3）如圖3，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△AEB，

與（1）類似：可得：AE=PC=2，BE=BP=4，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，

∴∠BEP=（180°﹣90°）=45°，

由勾股定理得：EP=．

∵AE=2，AP=6，EP=，

∴AE2+PE2=22+2=36 2=62=36，

∴AE2+PE2=AP2，

∴∠AEP=90°，

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°．