Question

【題目】（問題提出）

求證：如果一個定圓的內接四邊形對角線互相垂直，那么這個四邊形每組對邊的平方和是一個定值．

（從特殊入手）

我們不妨設定圓O的半徑是R，⊙O的內接四邊形ABCD中，AC⊥BD．請你在圖①中補全特殊位置時的圖形，并借助于所畫圖形探究問題的結論．

（問題解決）

已知：如圖②，定圓⊙O的半徑是R，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形， AC⊥BD．

求證： ．

證明：

Answer 1

【答案】【從特殊入手】證明見解析；【問題解決】AB2+CD2=BC2+AD2=4R2；證明見解析.

【解析】

【從特殊入手】：根據正方形的性質、勾股定理計算；
【問題解決】：根據題意寫出已知、求證，作直徑DE，連接CE，根據圓周角定理證明∠ADB＝∠CDE，得到AB=CE，根據勾股定理計算．

【從特殊入手】

解：如果一個定圓的內接四邊形對角線互相垂直，

那么這個四邊形的對邊平方和是定圓半徑平方的4倍．

情況一： 如圖1，當AC、BD是兩條互相垂直的直徑時．

則AB2＝OA2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2，

CD2＝OC2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2，

BC2＝OC2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2，

AD2＝OA2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2．

所以AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝2R2＋2R2＝4R2．

情況二： 如圖2，當AC⊥BD，且AC直徑時．

根據垂徑定理可知：AB＝AD，BC＝DC．

因為AC是直徑，所以∠ABC＝∠ADC＝90°．

所以AB2＋CD2＝AD2＋CD2＝AC2＝4R2．

【問題解決】

求證：AB2+CD2=BC2+AD2=4R2

證明：如圖3．作直徑DE，連接CE．

∵DE是直徑，∴∠DCE＝90°．

∵ 所對的圓周角是∠E與∠DAH，

∴∠E＝∠DAH．

∵∠DAC＋∠ADB＝90°，∠E＋∠CDE＝90°，

∴∠ADB＝∠CDE．

∴ ．∴AB＝CE．

∴AB2＋CD2＝CE2＋CD2＝DE2＝4R2．

同理：BC2＋AD2＝4R2．