Question

【題目】如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A、C為圓心，以大于 AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；
②連接MN，分別交AB、AC于點D、O；
③過C作CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）當∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周長為18時，求四邊形ADCE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可知：

∵分別以A、C為圓心，以大于 AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；

∴直線DE是線段AC的垂直平分線，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；

且AD=CD、AO=CO，

又∵CE∥AB，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△COE中

，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴OD=OE，

∵A0=CO，DO=EO，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

又∵AC⊥DE，

∴四邊形ADCE是菱形

（2）解：當∠ACB=90°時，

OD∥BC，

即有△ADO∽△ABC，

∴ ，

又∵BC=6，

∴OD=3，

又∵△ADC的周長為18，

∴AD+AO=9，

即AD=9﹣AO，

∴OD= =3，

可得AO=4，

∴DE=6，AC=8，

∴S= ACDE= ×8×6=24

【解析】（1）利用直線DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，進而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE是菱形；（2）利用當∠ACB=90°時，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的長即可得出四邊形ADCE的面積．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．