Question

【題目】閱讀材料，善于思考的小軍在解方程組 時，采用了一種“整體代換”的解法：
解：將方程②變形：4x+10y+y=5
即2（2x+5y）+y=5③
把方程①代入③得：2×3+y=5
∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4
∴方程組的解為
請你解決以下問題：
（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組
（2）已知x、y滿足方程組
①求x2+4y2的值；
②求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由②得：3x+6x﹣4y=19，即3x+2（3x﹣2y）=19③，

把①代入③得：3x+10=19，即x=3，

把x=3代入①得：y=2，

則方程組的解為 ；

（2）解：①由5x2﹣2xy+20y2=82得：5（x2+4y2）﹣2xy=82，即x2+4y2= ，

由2x2﹣xy+8y2=32得：2（x2+4y2）﹣xy=32，即2× ﹣xy=32，

整理得：xy=4，

∴x2+4y2= = =18；

②∵x2+4y2=18，xy=4，

∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=18+16=34，即x+2y=± ，

則原式= ．

【解析】（1）“整體代換”可以一個未知數系數為基準，在此基礎上乘以一個適當的數，另一個未知數系數進行拆分；（2）以（x2+4y2）為個整體，兩個方程分別變形，整體上以（x2+4y2）、xy為兩個未知數，加減消元，消去xy ,即可求出（x2+4y2）的值；x2+4y2相當于x、2y的平方和，聯想到這兩個數的平方，分別代換即可求出x+2y的值，注意正負都可取.