Question

我市某鎮的一種特產由于運輸原因，長期只能在當地銷售，當地政府對該特產的銷售投資收益為：每年投入x萬元，可獲得利潤P=-

1

100

(x-60)2+41（萬元），當地政府擬在“十二五”規劃中加快開發該特產的銷售，其規劃方案為：規劃后對該項目每年投入100萬元，在實施規劃的5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每年投入x萬元，可獲利潤
Q=-

99

100

(100-x)2+

294

5

(100-x)+160（萬元）
（1）若不進行開發，求5年所獲利潤的最大值是多少？
（2）①求公路在修建過程中這兩年在當地銷售的最大利潤．
②設在公路通車后的3年中，每年用x萬元投資本地銷售，而用剩下的（100-x）萬元投資外地銷售，這3年中每年的總利潤為W萬元，求W與x之間的函數關系式．（W=公路修通后每年當地銷售利潤+公路修通后每年外地銷售利潤）
③扣除前兩年的修路費用，設這5年的純利潤為S萬元，求S與x的關系式．
（S=前兩年的最大利潤+后3年每年的總利潤×3-前兩年的修路費用）
④求S的最大值．
（3）根據（1）、（2），該規劃方案是否具有實施價值．

Answer 1

分析：（1）由可獲得利潤P=-

1

100

（x-60）²+41（萬元），即可知當x=60時，P最大，最大值為41，繼而求得5年所獲利潤的最大值；
（2）①根據（1）可知：當x＜60時，p隨x增大而增大，可得當x=50時利潤最大，即可求出答案；
②根據W=公路修通后每年當地銷售利潤+公路修通后每年外地銷售利潤，把本地銷售的量x和投資外地銷售的量100-x代入即可列出函數關系式；
③根據S=前兩年的最大利潤+后3年每年的總利潤×3-前兩年的修路費用，將②中求出的W代入S，即可列出函數關系式；
④將③得出的函數解析式進行配方即可求出最大值；
（3）比較可知實施與不實施所獲得的利潤，即可作出判斷．

解答：解：（1）∵P=-

1

100

(x-60)2+41，
∴當x=60時，p取最大值41，
5年所獲利潤的最大值=41×5=205；

（2）①∵a=-

1

100

＜0，
∴當x＜60時，p隨x增大而增大，
∵撥出50萬進行修路，
∴當地政府對該特產的銷售投資為50萬，
∴當x=50時，p取最大值，
代入可得p=40，
則這兩年在當地銷售的最大利潤=40×2=80；
②由題意得：W=-

1

100

（x-60）²+41-

99

100

x²+

294

5

x+160
=-x²+60x+165；
③由題意得：S=80-50×2+3（-x²+60x+165）
=-3x²+180x+475；
④S=-3x²+180x+475
=-3（x-30）²+3175
當x=30時，S取最大值3175；

（3）由（1）、（2）可得：實施該方案5年獲得的利潤為3175萬元，不實施該方案5年獲得利潤205萬元，
∵3175＞205，
∴該規劃方案有實施價值．

點評：此題考查了二次函數的實際應用問題，難度較大，解答本題的關鍵是理解題意，還要注意后三年的最大值的求解方法是利用配方法求得函數最大值．