Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AC=BC=5，AB=6，點E是線段AB上的動點（不與端點重合），點F是線段AC上的動點，連接CE、EF，若在點E、點F的運動過程中，始終保證∠CEF=∠B．當以點C為圓心，以CF為半徑的圓與AB相切時，則BE的長為_________．

Answer 1

【答案】1或5

【解析】如圖，設⊙C與BA切于點M，則CM=CF，CM⊥BA，根據等腰三角形的三線合一的性質可得BM=AM==3，在Rt△AMC中，根據勾股定理求得CM=CF= 4，從而得AF=1，再證明△AEF∽△BCE，根據相似三角形的性質可得，設BE長為x，則EA長為6-x，可得，解方程求得x的值，即可得BE的長.

如圖，設⊙C與BA切于點M，則CM=CF，CM⊥BA，

∵CA=CB，CM⊥BA，AB=6，

∴BM=AM==3，

Rt△AMC中，AC=5，AM=3，

∴CM=CF= 4，

∴AF=1，

∵CA=CB，

∴∠B=∠A，

∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，

∵∠CEF=∠B，

∴∠AEF=∠BCE；

∴△AEF∽△BCE，

∴ ，

設BE長為x，則EA長為6-x

∴，

解得：x1=1，x2=5，

∴BE的長為1或5.

故答案為：1或5.