Question

【題目】如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個結論正確的是（ ）

①點P在∠A的平分線上；

②AS=AR；

③QP∥AR；

④△BRP≌△QSP．

A．全部正確 B．僅①和②正確 C．僅②③正確 D．僅①和③正確

Answer 1

【答案】A

【解析】

試題分析：因為△ABC為等邊三角形，根據已知條件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，則AR=AS，故（2）正確，∠BAP=∠CAP，所以AP是等邊三角形的頂角的平分線，故（1）正確，根據等腰三角形的三線合一的性質知，AP也是BC邊上的高和中線，即點P是BC的中點，因為AQ=PQ，所以點Q是AC的中點，所以PQ是邊AB對的中位線，有PQ∥AB，故（3）正確，又可推出△BRP≌△QSP，故（4）正確．

解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S

∴∠ARP=∠ASP=90°

∵PR=PS，AP=AP

∴Rt△ARP≌Rt△ASP

∴AR=AS，故（2）正確，∠BAP=∠CAP

∴AP是等邊三角形的頂角的平分線，故（1）正確

∴AP是BC邊上的高和中線，即點P是BC的中點

∵AQ=PQ

∴點Q是AC的中點

∴PQ是邊AB對的中位線

∴PQ∥AB，故（3）正確

∵∠B=∠C=60°，∠BRP=∠CSP=90°，BP=CP

∴△BRP≌△QSP，故（4）正確

∴全部正確．

故選A．