Question

【題目】一次函數y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）．

（1）求該函數的解析式；
（2）O為坐標原點，設OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A、B的坐標代入y=kx+b得：

0=2k+b，4=b，

∴k=﹣2，b=4，

∴解析式為：y=﹣2x+4

（2）

解：

設點C關于點O的對稱點為C′，連接C′D交OB于P′，連接P′C，則PC=PC′，

∴PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．

連接CD，在Rt△DCC′中，C′D= =2 ，即PC′+PD的最小值為2 ，

∵OA、AB的中點分別為C、D，

∴CD是△OBA的中位線，

∴OP∥CD，CD= OB=2，

∵C′O=OC，

∴OP是△C′CD的中位線，

∴OP= CD=1，

∴點P的坐標為（0，1）．

【解析】（1）將點A、B的坐標代入y=kx+b并計算得k=﹣2，b=4．求出解析式為：y=﹣2x+4；（2）設點C關于點O的對稱點為C′，連接C′D交OB于P，則PC=PC′，PC+PD=PC′+PD=C′D，即PC+PD的最小值是C′D．連接CD，在Rt△DCC′中，由勾股定理求得C′D的值，由OP是△C′CD的中位線而求得點P的坐標．
【考點精析】本題主要考查了一次函數的性質的相關知識點，需要掌握一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小才能正確解答此題．