Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=12cm，C為AB延長線上一點，CP與⊙O相切于點P，過點B作弦BD∥CP，連接PD．

（1）求證：點P為 的中點；
（2）若∠C=∠D，求四邊形BCPD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，

∵CP與⊙O相切于點P，

∴PC⊥OP，

∴∠OPC=90度，

∵BD∥CP，

∴∠OEP=OPC=90度，

∴BD⊥OP，

∴點P為 的中點．

（2）解：∵∠C=∠D，

∵∠POB=2∠D，

∴∠POB=2∠C，

∵∠CPO=90°，

∴∠C=30°，

∵BD∥CP，

∴∠C=∠DBA，

∴∠D=∠DBA，

∴BC∥PD，

∴四邊形BCPD是平行四邊形，

∵PO= AB=6，

∴PC=6 ，

∵∠ABD=∠C=30°，

∴OE= OB=3，

∴PE=3，

∴四邊形BCPD的面積=PCPE=6 ×3=18 ．

【解析】（1）由切線性質定理和垂徑定理推論可證出；（2）由圓周角定理可得出∠POB=2∠C，∠CPO=90°，∠C=30°，求出底邊長和高，即能求出其面積.
【考點精析】利用平行四邊形的判定與性質和垂徑定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．