Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．
（1）求證：DF=AE；
（2）當AB=2時，求BE2的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接CF，

在Rt△CDF和Rt△CEF中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），

∴DF=EF，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠EAF=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AE=EF，

∴DF=AE

（2）解：∵AB=2，

∴AC= AB=2 ，

∵CE=CD，

∴AE=2 ﹣2，

過點E作EH⊥AB于H，

則△AEH是等腰直角三角形，

∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣ ，

∴BH=2﹣（2﹣ ）= ，

在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（ ）2+（2﹣ ）2=8﹣4 ．

【解析】（1）連接CF，根據(jù)“HL”證明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=EF，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=EF，然后等量代換即可得證；（2）根據(jù)正方形的對角線等于邊長的 倍求出AC，然后求出AE，過點E作EH⊥AB于H，判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式計算即可得解．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和勾股定理的概念的相關(guān)知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．