Question

【題目】如圖1，已知點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（0，﹣2），AD與y軸交于點(diǎn)E，且E為AD的中點(diǎn)，雙曲線y=經(jīng)過C，D兩點(diǎn)且D（a，4）、C（2，b）．

（1）求a、b、k的值；

（2）如圖2，線段CD能通過旋轉(zhuǎn)一定角度后點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′、D′還能落在y=的圖象上嗎？如果能，寫出你是如何旋轉(zhuǎn)的，如果不能，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3，點(diǎn)P在雙曲線y=上，點(diǎn)Q在y軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求滿足要求的所有點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a=1，k=4，b=2　　（2）能　　（3）P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．　

【解析】（1）如圖1，過點(diǎn)D做DP⊥y軸于點(diǎn)P，由△PDE≌△OAE（ASA），PD=OA，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可解決問題；

（2）能，點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度時(shí)，點(diǎn)C′、D′落在y=圖象上．或點(diǎn)C、D關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)在圖象上；

（3）分兩種情形分別求解①當(dāng)AB為邊時(shí)，如圖1中，若四邊形ABPQ為平行四邊形，則=0；如圖2中，若四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，AP=BQ，且AP∥BQ，求點(diǎn)P坐標(biāo)，即可解決問題；②如圖3中，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，AP=BQ，AP∥BQ，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，即可解決問題．

解：（1）如圖1，過點(diǎn)D做DP⊥y軸于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE．

又∵DP⊥y軸，∠AOE=90°，

∴∠DPE=∠AEO．

∵在△PDE與△OAE中，

∠DPE=∠AOE，PE=OE，∠PED=∠OEA，

∴△PDE≌△OAE（ASA），

∴PD=OA，

∵A（﹣1，0），

∴PD=1，

∴D（1，4）．

∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，

∴k=xy=1×4=4．

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，C的坐標(biāo)為（2，b），

∴b==2，

∴a=1，k=4，b=2；

（2）能，點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度時(shí)，點(diǎn)C′、D′落在y=圖象上．或點(diǎn)C、D關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)在圖象上；

（3）∵由（1）可知k=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=，

∵點(diǎn)P在y=上，點(diǎn)Q在y軸上，

∴設(shè)Q（0，y），P（x， ）．

①當(dāng)AB為邊時(shí)，如圖1中，若四邊形ABPQ為平行四邊形，則=0，

解得x=1，此時(shí)P1（1，4），Q1（0，6）．

如圖2中，若四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，AP=BQ，且AP∥BQ，

此時(shí)P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）．

②如圖3中，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，AP=BQ，AP∥BQ，

此時(shí)P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2），

綜上所述，滿足條件的P、Q坐標(biāo)分別為P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）．

“點(diǎn)睛”本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度較大．