Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是直徑，直線MN過點B，且∠MBC=∠BAC．半徑OD⊥BC，垂足為H，AD交BC于點G，DE⊥AB于點E，交BC于點F．

（1）求證：MN是⊙O的切線；
（2）求證：DE= BC；
（3）若tan∠CAG= ，DG=4，求點F到直線AD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠BCA=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵∠MBC=∠BAC，

∴∠MBC+∠ABC=90°，

∴∠ABM=90°，

即AB⊥MN，

∴MN是⊙O的切線．

（2）證明：∵OD⊥BC，

∴BH=CH，

在△ODE和△OBG中，

，

∴△ODE≌△OBG，

∴DE=BH= BC．

（3）解：作FJ⊥DG于J．

易證∠CAH=∠HDG=∠GFJ

∴tan∠GFJ= = ，設GJ=x，則FG=2x，FG= x，

∵∠EDA+∠EAD=90°，∠CHA+∠CAH=90°，∠EAD=∠ACH，

∴∠EDA=∠CHA=∠DHF，

∴DF=FG= x，

在Rt△DFJ中，∵DF2=DJ2+FJ2，

∴5x2=4x2+（4﹣x）2，

解得x=2，

∴FJ=4，

∴點F到直線AD的距離為4．

【解析】（1）要證明MN是⊙O的切線，只要證明AB⊥MN即可；（2）由△ODE≌△OBG，推出DE=BH，再根據垂徑定理即可證明；（3）作FJ⊥DG于J，由tan∠GFJ=，設GJ=x，則FG=2x，FG=x，再證明DF=FG，在Rt△DFJ中，根據勾股定理列出方程解之即可.
【考點精析】通過靈活運用垂徑定理和圓周角定理，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可以解答此題．