Question

【題目】已知圓E：（x+ ）2+y2=16，點F（ ，0），P是圓E上任意一點，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．（Ⅰ）求動點Q的軌跡E的方程； （Ⅱ）直線l過點（1，1），且與軌跡Γ交于A，B兩點，點M滿足 = ，點O為坐標原點，延長線段OM與軌跡Γ交于點R，四邊形OARB能否為平行四邊形？若能，求出此時直線l的方程，若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）∵|QE|+|QF|=|EQ|+|QP|=4，且|EF|=2 ＜4， ∴點Q的軌跡是以E，F為焦點的橢圓，
設橢圓方程為 =1，則2a=4，c= ，∴a=2，b= =1．
所以點E的軌跡方程為： +y2=1．
（II）（1）當直線l與x軸垂直時，直線l的方程為x=1，顯然四邊形OARB是平行四邊形；（2）當直線l與x軸不垂直時，設直線l：y=kx+m，顯然k≠0，m≠0，
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM ， yM）．
聯立方程組 ，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣ ，
∵ = ，即M是AB的中點，
∴xM= =﹣ ，yM=kxM+m= ，
若四邊形OARB是平行四邊形，當且僅當AB，OR互相平分，
∴R（﹣ ， ），
代入橢圓方程得： + =1，即16k2m2+4m2=16k4+8k2+1，
又直線l：y=kx+m經過點（1，1），∴m=1﹣k，
∴16k2（1﹣k）2+4（1﹣k）2=16k4+8k2+1，
∴32k3﹣12k2+8k﹣3=0，即（4k2+1）（8k﹣3）=0．
∴k= ，m= ，
∴直線l的方程為y= x+ 時，四邊形OARB是平行四邊形，
綜上，直線l的方程為x=1或y= x+ ．
【解析】（I）利用橢圓的定義即可得出E的軌跡方程；（II）討論直線l的斜率，聯立方程組，利用根與系數的關系得出M點坐標，根據平行四邊形對角線互相平分得出R點坐標，代入橢圓方程化簡即可得出直線l的斜率k．