Question

【題目】據我國古代《周髀算經》記載，大約公元1120年，商高曾對周公說過一段話，其意思是將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括為“勾三股四弦五”。

（1）觀察：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25……發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過。計算， 與， 并根據發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；

（2）根據（1）的規律，用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合理猜想它們之間的兩種相等關系并對其一種猜想加以說明。

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）勾、股、弦的算式為n， ，

兩種相等關系為： ，

理由見解析

【解析】試題分析：（1）根據所提供的例子發現股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）①：弦股=1;關系式②：勾2+股2=弦2.

試題解析：(1)∵

∴7,24,25的股的算式為

弦的算式為

(2)當n為奇數且,勾、股、弦的代數式分別為：

例如關系式①：弦股=1;關系式②：勾2+股2=弦2.

證明關系式①：弦股

或證明關系式②：勾2+股2=弦2.

∴猜想得證;