Question

【題目】已知△ABC，△EFG均是邊長為4的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點． （Ⅰ）如圖①，這兩個等邊三角形的高為；
（Ⅱ）如圖②，直線AG，FC相交于點M，當△EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最小值是 ．

Answer 1

【答案】2 ；2 -2
【解析】解：（Ⅰ）如圖①中，連接AD，
∵△ABC是等邊三角形，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=2，
∴AD= = =2 ，
所以答案是2 ．
（Ⅱ）如圖①中，連接AE、EC、CG．
∵DE=DF=DC，
∴△EFC是直角三角形，
∴∠ECF=90°，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠GDC，
在△ADE和△GDC中，
，
∴△ADE≌△GDC，
∴AE=CG，∠DAE=∠DGC，
∵DA=DG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴∠GAE=∠AGC，
∵AG=GA，
∴△AGE≌△GAC，
∴∠GAK=∠AGK，
∴KA=KG，∵AC=EG，
∴EK=KC，
∴∠KEC=∠KCE，
∵∠AKG=∠EKC，
∴∠KAG=∠KCE，
∴EC∥AG，
∴∠AMF=∠ECF=90°，
∴點M在以AC為直徑的圓上運動，
如圖②中，當點M運動到BM⊥AC時，BM最短，

∵OB=2 ，AO=OM=OC=2，
∴BM的最小值為2 ﹣2．
所以答案是2 ﹣2．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．