Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E、F分別是CD、BC的中點，AE與DF交于點P，連接CP，則CP＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由△ADE≌△DCF可導出四邊形CEPF對角互補，而CE＝CF，于是將△CEP繞C點逆時針旋轉90°至△CFG，可得△CPG是等腰直角三角形，從而PG＝PF+FG＝PF+PE＝CP，求出PE和PF的長度即可求出PC的長度．

解：如圖，作CG⊥CP交DF的延長線于G．

則∠PCF+∠GCF＝∠PCG＝90°，

∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，

∴AD＝CD＝BC＝AB＝2，∠ADC＝∠DCB＝90°，

∵E、F分別為CD、BC中點，

∴DE＝CE＝CF＝BF＝1，

∴AE＝DF＝，

∴DP＝＝，

∴PE＝，PF＝，

在△ADE和△DCF中：

∴△ADE≌△DCF（SAS），

∴∠AED＝∠DFC，

∴∠CEP＝∠CFG，

∵∠ECP+∠PCF＝∠DCB＝90°，

∴∠ECP＝∠FCG，

在△ECP和△FCG中：

∴△ECP≌△FCG（ASA），

∴CP＝CG，EP＝FG，

∴△PCG為等腰直角三角形，

∴PG＝PF+FG＝PF+PE＝＝CP，

∴CP＝．

故答案為：．