Question

【題目】如圖，BF為⊙O的直徑，直線AC交⊙O于A，B兩點，點D在⊙O上，BD平分∠OBC，DE⊥AC于點E．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若 BF=10，sin∠BDE= ，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，連接OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵BD平分∠OBC，

∴∠OBD=∠DBE，

∴∠ODB=∠DBE，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半徑，

∴直線DE是⊙O的切線

（2）解：如圖，連接DF，

∵BF是⊙O的直徑，

∴∠FDB=90°，

∴∠F+∠OBD=90°，

∵∠OBD=∠DBE，∠BDE+∠DBE=90°，

∴∠F=∠BDE，

在Rt△BDF中， =sinF=sin∠BDE= ，

∴BD=10× =2 ，

∴在Rt△BDE中，sin∠BDE= = ，

∴BE=2 × =2，

∴在Rt△BDE中，DE= = =4．

【解析】（1）先連接OD，根據∠ODB=∠DBE，即可得到OD∥AC，再根據DE⊥AC，可得OD⊥DE，進而得出直線DE是⊙O的切線；（2）先連接DF，根據題意得到∠F=∠BDE，在Rt△BDF中，根據 =sinF=sin∠BDE= ，可得BD=2 ，在Rt△BDE中，根據sin∠BDE= = ，可得BE=2，最后依據勾股定理即可得到DE的長．
【考點精析】通過靈活運用解直角三角形，掌握解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．