Question

【題目】如圖，已知：關于x的二次函數的圖象與x軸交于點A(1，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，拋物線的對稱軸與x軸交于點D.

(1)求二次函數的表達式；

(2)在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形.若存在，請求出點P的坐標；

(3)有一個點M從點A出發，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到 達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；（3）1.

【解析】試題分析：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程組，解方程組即可得二次函數的表達式；

（2）先求出點B的坐標，再根據勾股定理求得BC的長，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分別根據這三種情況求出點P的坐標；

（3）設AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化為頂點式，根據二次函數的性質即可得△MNB最大面積；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．

試題解析：解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函數的表達式為：y=x2﹣4x+3；

（2）令y=0，則x2﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B（3，0），

∴BC=3，

點P在y軸上，當△PBC為等腰三角形時分三種情況進行討論：如圖1，

①當CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3

∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；

②當PB=PC時，OP=OB=3，

∴P3（﹣3，0）；

③當BP=BC時，

∵OC=OB=3

∴此時P與O重合，

∴P4（0，0）；

綜上所述，點P的坐標為：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如圖2，設AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，

∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，

當點M出發1秒到達D點時，△MNB面積最大，最大面積是1．此時點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．