Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB∥OC，A（0，3），B（a，b），C（c，0），且a，c滿足．點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點Q從點O同時出發，以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當點Q到達點C時，點P隨之停止運動．設運動時間為t（秒）．

（1）B，C兩點的坐標為：B ，C ；

（2）當t為何值時，四邊形PQCB是平行四邊形？

（3）D為線段AB的中點，求當t為何值時，△ADQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1），；（2）當t=4時，四邊形PQCB是平行四邊形；（3）當t為，或，或2，或時，△ADQ是等腰三角形．

【解析】

（1）根據點的坐標特點和二次根式的性質得出a，b，c的值進而得出答案；

（2）由題意得：，，根據平行四邊形的判定可得再解方程即可；

（3）分別以AD為腰或AD為底邊時情況，根據等腰三角形的性質和勾股定理即可得到結論．

解：（1）∵．

∴ ，

解得a=10，

∴c=14，

∵AB∥OC，A（0，3），

∴b=3，

即B（10，3），C（14，0）；

故答案為：（10，3），（14，0）

（2）設運動時間為t（秒），由題意可知：

，

又∵AB∥OC

∴當BP=CQ時，四邊形PQCB是平行四邊形

此時

解之得

∴當t=4時，四邊形PQCB是平行四邊形

（3）∵D為線段AB的中點

∴AD=5

分兩種情況：①若AD為腰時，如圖1：當DA=DQ=5時，△ADQ是等腰三角形

過點D作DE⊥OC

由題意可知D（5,3）

在Rt△DQE中，

∴OQ=5-4=1，即2t=1

∴

如圖3：當AQ=AD=5時，△ADQ是等腰三角形

在Rt△AOQ中，OQ=4，即2t=4

∴

如圖4：當DA=DQ時，△ADQ是等腰三角形

過點D作DE⊥OC

在Rt△DQE中，

∴OQ=5+4=9，即2t=9

∴

②若AD為底邊，如圖2：當QA=QD時，△ADQ是等腰三角形

過點Q作QE⊥AB，

∵AB∥OC，∠AOC=90°，QE⊥AB

∴∠∠AOC=∠OQE=∠QEA=90°

∴四邊形OQEA是矩形

∴OQ=AE=

即，

∴

綜上：當t為或2或或時，△ADQ是等腰三角形