Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．

（1）求證：△OCD是等邊三角形；

（2）當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△AOD是直角三角形，理由詳見解析；（3）當α＝110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．

【解析】

（1）根據全等三角形的性質得到OC=DC，根據等邊三角形的判定定理證明即可；

（2）根據全等三角形的性質得到∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結合圖形計算即可；

（3）分∠AOD=∠ADO、∠AOD=∠OAD、∠ADO=∠OAD三種情況，根據等腰三角形的判定定理計算即可．

解：（1）∵△BOC≌△ADC，

∴OC＝DC．

∵∠OCD＝60°，

∴△OCD是等邊三角形．

（2）△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等邊三角形，

∴∠ODC＝60°，

∵△BOC≌△ADC，∠α＝150°，

∴∠ADC＝∠BOC＝∠α＝150°，

∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，

∴△AOD是直角三角形．

（3）∵△OCD是等邊三角形，

∴∠COD＝∠ODC＝60°．

∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，

∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，

∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，

∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．

①當∠AOD＝∠ADO時，190°﹣α＝α﹣60°，

∴α＝125°．

②當∠AOD＝∠OAD時，190°﹣α＝50°，

∴α＝140°．

③當∠ADO＝∠OAD時，

α﹣60°＝50°，

∴α＝110°．

綜上所述：當α＝110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．