Question

【題目】（1）已知a為正整數，關于x的不等式組的整數解僅2、3、4，則a的最大值是_____．

（2）如圖，△ABC中，AC＝，∠A＝45°，∠B＝30°，P是BC邊上一點（不含端點），將PC繞著點P逆時針旋轉得到PC′，旋轉角α（0＜α＜180°），若旋轉過程中，點C′始終落在△ABC內部（不包含邊上），則PC的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】﹣20 0＜PC＜4

【解析】

（1）首先解不等式組，用a表示出不等式組的解集，根據不等式的整數解僅有2，3，4，即可確定a的值，從而求解；

（2）過C作CD⊥AB于D，過P作PH⊥AB于H，設CP＝x＝PC'，則BP＝12﹣x，PH＝（12﹣x），依據旋轉過程中，點C′始終落在△ABC內部（不包括邊上），即可得到PC'＜PH，即x＜（12﹣x），進而得出PC的取值范圍．

（1）解不等式組得：﹣＜x≤，

∵整數解僅有2，3，4，

∴1≤﹣＜2，解得：﹣40＜a≤﹣20，

∴a的最大值為﹣20，

故答案為：﹣20；

（2）如圖，過C作CD⊥AB于D，過P作PH⊥AB于H，

∵AC＝6，∠A＝45°，∠B＝30°，

∴AD＝CD＝6，BC＝2CD＝12，

設CP＝x＝PC'，則BP＝12﹣x，PH＝（12﹣x），

∵旋轉過程中，點C′始終落在△ABC內部（不包括邊上），

∴PC'＜PH，即x＜（12﹣x），

解得x＜4，

又∵PC＞0，

∴0＜PC＜4，

故答案為：0＜PC＜4．