Question

【題目】如圖．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分線交于點O，過O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．

（1）求BP、CQ、AR的長．

（2）若BO的延長線交AC于E，CO的延長線交AB于F，若∠A=60゜，求證：OE=OF．

Answer 1

【答案】（1）BP=3，CQ=5，AR=4；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由角平分線性質OR=OQ，OR=OP，BR=BP，CQ=CP，根據已知聯立方程組，求BP，CQ，AR.

(2) 過O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，證明FON≌△EOM，可得OE=OF.

試題解析：

解：連接AO，OB，OC，

∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分線交于點O，

∴OR=OQ，OR=OP，

∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，

∴AR=AQ，

同理BR=BP，CQ=CP，

即O在∠ACB角平分線上，

設BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，AB=7，BC=8，AC=9，

則，

x=3，y=5，z=4，

∴BP=3，CQ=5，AR=4．

（2）過O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，

∵O在∠A的平分線，

∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，

∵∠A=60°，

∴∠NOM=120°，

∵O在∠ACB、∠ABC的角平分線上，

∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，

∴∠FON=∠EOM，

在△FON和△EOM中，

∠ONF=∠OME，ON=OM，∠FON=∠EOM，

∴△FON≌△EOM，

∴OE=OF．