Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點左側，B點的坐標為（4，0），與y軸交于C（0，﹣4）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的表達式．

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的表達式為：y=x2﹣3x﹣4；

（2）存在，P點的坐標為（，﹣2）；

（3）此時P點的坐標為：（2，﹣6），四邊形ABPC的面積的最大值為18．

【解析】

試題分析：（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；

（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；

（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標．

試題解析：（1）將B、C兩點的坐標代入得：

，

解得：；

所以二次函數的表達式為：y=x2﹣3x﹣4；

（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；

設P點坐標為（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；

如圖1，連接PP′，則PE⊥CO于E，

∵C（0，﹣4），

∴CO=4，

又∵OE=EC，

∴OE=EC=2

∴y=﹣2；

∴x2﹣3x﹣4=﹣2

解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），

∴P點的坐標為（，﹣2）；

（3）如圖2，過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x2﹣3x﹣4），設直線BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣4，

則Q點的坐標為（x，x﹣4）；

當0=x2﹣3x﹣4，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴AO=1，AB=5，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPBF+QPOF

=×5×4+（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+ x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]

=﹣2x2+8x+10

=﹣2（x﹣2）2+18

當x=2時，四邊形ABPC的面積最大，

此時P點的坐標為：（2，﹣6），四邊形ABPC的面積的最大值為18．