Question

已知四邊形ABCD（不是平行四邊形）中，AD與BC不平行，E、F、G、H分別是線段AB、AC、CD、BD的中點．
（1）證明：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）圖中不再添加其它的點和線，根據現有條件，在空格內分別添加一個你認為正確的條件，使下列命題成立：
①當四邊形ABCD滿足條件______時，四邊形EFGH是菱形；
②當四邊形ABCD滿足條件______時，四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

解：（1）∵E、F、G、H分別是線段AB、AC、CD、BD的中點，
∴EH、FG分別是△ABD、△ACD的中位線，
∴EH∥AD，FG∥AD，EH=AD，FG=AD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）AD=BC；
∵EH、HG分別是△ABD、△BCD的中位線，
∴EH=AD，HG=BC，
∵AD=BC，
∴EH=HG，
∴平行四邊形EFGH是菱形．

（3）AD⊥BC．
∵EH、HG分別是△ABD、△BCD的中位線，
∴EH∥AD，HG∥BC，
∵AD⊥BC，
∴EH⊥HG，∠EHG=90°
∴平行四邊形EFGH是矩形．
分析：（1）根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．只需證EH∥FG，EH=FG即可．
（2）根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．只需證EH=HG，由中位線定理可證EH=AD，HG=BC，
所以AD=BC．
（3）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形．只需證∠EHG=90°，必須AD⊥BC．
點評：本題利用了：
1、三角形中位線的性質；
2、平行四邊形的判定；
3、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
4、有一個角是直角的平行四邊形是矩形．