Question

【題目】如圖：在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸負半軸、y軸正半軸上，且四邊形ABCD為矩形，AB=4，點D與點A關于原點O成中心對稱，tan∠ACB=，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的長和點D的坐標；

（2）說明△AEF與△DCE相似；

（3）點M在第二象限，且在直線BC的下方，點N在平面內，是否存在這樣點M，使得以點B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形，且矩形的長：寬=4：3？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)5；D（3，0）；（2）證明見解析；（3）存在，M的坐標是（-3，）．

【解析】

試題分析：（1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的長，求出BC與AC的長，利用對稱性確定出D坐標即可；

（2）由對稱性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性質得到一對角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；

（3）根據題意得到點M在線段AB上，點N在y軸上，由于矩形的長：寬=4：3，得到，或，求得BM=或BM=4（不合題意，舍去），于是得到結論．

試題解析：（1）由題意tan∠ACB=，

∴cos∠ACB=．

∵四邊形ABCO為矩形，AB=4，

∴BC==3，AC==5，

∴A點坐標為（-3，0），

∵點D與點A關于y軸對稱，

∴D（3，0）；

（2）點D與點A關于y軸對稱，∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性質）

∴∠AEF=∠DCE．

則在△AEF與△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE；

（3）存在，如圖，

∵點M在第二象限，且在直線BC的下方，點N在平面內，

∵B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形，

∴點M在線段AB上，點N在y軸上，

∵矩形的長：寬=4：3，

∴，或，

∵BC=3，

∴BM=或BM=4（不合題意，舍去），

∴M的坐標是（-3，）．