Question

【題目】在平面直角坐標系中，將某點（橫坐標與縱坐標不相等）的橫坐標與縱坐標互換后得到的點叫這個點的“互換點”，如（-3，5）與（5，-3）是一對“互換點”．

（1）以O為圓心，半徑為5的圓上有無數對“互換點”，請寫出一對符合條件的“互換點”；

（2）點M，N是一對“互換點”，點M的坐標為（m，n），且（m＞n），⊙P經過點M，N．

①點M的坐標為（4，0），求圓心P所在直線的表達式；

②⊙P的半徑為5，求m－n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，如：（4，3），（3，4）；（2）①y=x；②0＜m－n≤．

【解析】試題分析：根據“互換點”的定義，結合圖形寫出符合題意的點即可；（2）①因點M的坐標為（4，0），根據“互換點”的定義，點N的坐標為（0,4），由圓的對稱性可知圓心P在直線OA上，從而可求圓心P所在直線的表達式；②由MN為⊙P直徑時，求出m－n的最大值，由點M，N重合時，求出m－n的最小值.

解：（1）答案不唯一，如：（4，3），（3，4）；

（2）①連結MN，∵OM=ON=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．

過O作OA⊥MN于點A，∴點M，N關于直線OA對稱．

由圓的對稱性可知，圓心P在直線OA上，∴圓心P所在直線的表達式為y=x．

②當MN為⊙P直徑時，由等腰直角三角形性質，可知m－n=；

當點M，N重合時，即點M，N橫縱坐標相等，所以m－n=0；

∴m－n的取值范圍是0＜m－n≤．