Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)y1=的圖象與一次函數(shù)y2=的圖象交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)實(shí)數(shù)4，點(diǎn)P（1，m）在反比例函數(shù)y1=的圖象上．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）觀察圖象回答：當(dāng)x為何范圍時(shí)，y1＞y2；

（3）求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=；（2）x＜﹣4或0＜x＜4時(shí)，y1＞y2；（3）△PAB的面積為15．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)求得B點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求得反函數(shù)的表達(dá)式即可；

（2）觀察圖象可知，反函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象上方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍就是不等式y1＞y2的解；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AR⊥y軸于R，過(guò)點(diǎn)P作PS⊥y軸于S，連接PO，設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)C，由點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得出OA=OB，則S△AOP=S△BOP，即S△PAB=2S△AOP，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線AP的函數(shù)解析式，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△AOP=S△AOC+S△POC，即可求得結(jié)果.

（1）將x=4代入y2=得：y=1，

∴B（4，1），

∴k=xy=4×1=4，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=；

（2）由正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣4．

∵y1＞y2，

∴反比例函數(shù)圖象位于正比例函數(shù)圖象上方，

∴x＜﹣4或0＜x＜4；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AR⊥y軸于R，過(guò)點(diǎn)P作PS⊥y軸于S，連接PO，

設(shè)AP與y軸交于點(diǎn)C，如圖，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴OA=OB，

∴S△AOP=S△BOP，

∴S△PAB=2S△AOP，

y1=中，當(dāng)x=1時(shí)，y=4，

∴P（1，4），

設(shè)直線AP的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，

把點(diǎn)A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，

得，

解得m=3，n=1，

故直線AP的函數(shù)關(guān)系式為y=x+3，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，3），OC=3，

∴S△AOP=S△AOC+S△POC

=OCAR+OCPS

=×3×4+×3×1

=，

∴S△PAB=2S△AOP=15．