Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圓⊙O交BC于E點，連接DE并延長，交AC于P點，交AB延長線于F．
（1）求證：CF=DB；
（2）當AD= 時，試求E點到CF的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AE，如圖，

∵∠ABC=60°，AB=BC，

∴△ABC為等邊三角形，

∵AB∥CD，∠DAB=90°，

∴∠ADC=∠DAB=90°，

∴AC為⊙O的直徑，

∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，

∴BE=CE，

CD∥BF，

∴∠DCE=∠FBE，

在△DCE和△FBE中，

，

∴△DCE≌△FBE（ASA），

∴DE=FE，

∴四邊形BDCF為平行四邊形，

∴CF=DB

（2）解：作EH⊥CF于H，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，AD= ，

∴DC= AD=1，AC=2CD=2，

∴AB=AC=2，BF=CD=1，

∴AF=3，

在Rt△ABD中，BD= = ，

在Rt△ADF中，DF= =2 ，

∴CF=BD= ，EF= DF= ，

∵AE⊥BC，

∴∠CAE=∠BAE=30°，

∴∠EDC=∠CAE=30°，

而∠DCA=∠BAC=60°，

∴∠DPC=90°，

在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°，

∴PC= DC= ，

∵∠HFE=∠PFC，

∴Rt△FHE∽Rt△FPC，

∴ ，即 = ，

∴EH= ，

即E點到CF的距離為 ．

【解析】（1）連結AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判斷△ABC為等邊三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，則根據圓周角定理可得到AC為⊙O的直徑，則∠AEC=90°，即AE⊥BC，根據等邊三角形的性質得BE=CE，再證明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判斷四邊形BDCF為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得CF=DB；（2）作EH⊥CF于H，由△ABC為等邊三角形得∠BAC=60°，則∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得DC= AD=1，AC=2CD=2，則AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理計算出BD= ，DF=2 ，所以CF=BD= ，EF= DF= ，接著根據等邊三角形的性質由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°，根據圓周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt△DPC中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得PC= DC= ，再證明Rt△FHE∽Rt△FPC，利用相似比可計算出EH．