Question

【題目】如圖，在長方形ACDF中，AC＝DF，點B在CD上，點E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．

（1）用兩種不同的方法表示出長方形ACDF的面積S，并探求a，b，c之間的等量關系（需要化簡）

（2）請運用（1）中得到的結論，解決下列問題：

①求當c＝10，a＝6時，求S的值；

②當c﹣b＝1，a＝5時，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①112；②204.

【解析】

（1）方法一可直接求長方形ACDF的面積；方法二可求四個三角形面積的和；根據面積相等化簡可得a2+b2＝c2；

（2）①根據（1）中結論可求出b＝8，然后根據S＝ab+b2計算即可；

②根據（1）中結論可求出b＝12，然后根據S＝ab+b2計算即可.

解：（1）由題意，得

方法一：S1＝b（a+b）＝ab+b2；

方法二：S2＝ab+ab+（b﹣a）（b+a）+c2＝ab+b2﹣a2+c2，

∵S1＝S2，

∴ab+b2＝ab+b2﹣a2+c2，

∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，

∴a2+b2＝c2；

（2）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，

∴b＝8，

∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112，

答：S的值為112；

②∵a2+b2＝c2，

∴a2＝c2﹣b2＝（c+b）（c﹣b）．

又∵c﹣b＝1，a＝5，

∴c+b＝25，

∴b＝12，

∴S＝ab+b2＝5×12+122＝204．