Question

【題目】如圖，圖①中△ABC是等邊三角形，其邊長(zhǎng)是3，圖②中△DEF是等腰直角三角形，∠F＝90°，DF＝EF＝3.

(1)若S1為△ABC的面積，S2為△DEF的面積，S3＝AB·BC·sinB，S4＝DE·DF·sinD，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明S1與S3，S2與S4之間有著怎樣的關(guān)系；

(2)在圖③中，∠P＝α(α為銳角)，OP＝m，PQ＝n，△OPQ的面積為S，請(qǐng)你根據(jù)第(1)小題的解答，直接寫(xiě)出S與m，n以及α之間的關(guān)系式，并給出證明．

Answer 1

【答案】(1) S1＝S3，S2＝S4 (2) S＝mnsinα.

【解析】（1）圖①，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由已知先求出AH的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算可得S1；圖②直接利用三角形面積公式進(jìn)行求解可得S2；

根據(jù)已知數(shù)據(jù)可計(jì)算得出S3，計(jì)算S4時(shí)，先利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，再代入式子進(jìn)行計(jì)算即可，根據(jù)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行比較即可得；

（2）根據(jù)（1）中的發(fā)現(xiàn)直接寫(xiě)出然后進(jìn)行證明即可得.證明思路：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥PQ，垂足為點(diǎn)M，在Rt△OPM中，先求出OM長(zhǎng)，再利用三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得證.

（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵△ABC是等邊三角形，AH⊥BC，∴AH＝AB·sinB＝3sin60°＝3×＝，

∴S1＝×3×＝，

∵△DEF是等腰直角三角形，∠F＝90°，DF＝EF＝3，

∴∠D＝45°，S2＝＝，

S3＝AB·BC·sinB＝×3×3×sin60°＝，

在Rt△DEF中，由勾股定理得DE＝＝3，

∴S4＝DE·DF·sinD＝×3×3×＝，

∴S1＝S3，S2＝S4；

（2）S＝mnsinα，證明如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥PQ，垂足為點(diǎn)M，

在Rt△OPM中，∠OMP＝90°，∴OM＝OP·sinP，

∵∠P＝α，OP＝m，∴OM＝msinα，

∴S＝PQ·OM＝mnsinα.