Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，，且滿足方程組，連接，．

（1）求的面積；

（2）動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿軸向左運動，連接，設點運動的時間為秒， 的面積為， 試用含的式子表示；

（3）在的條件下，點，點是上一點，連接，點在延長線上，且，連接， 當點在軸負半軸上，，， 四邊形的面積與的面積比為時，求此時值和點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）；（3）此時t的值為，點E的坐標為（3，）．

【解析】

（1）利用加減消元法解方程組即可求解；

（2）分類討論：當點P在點O右側時，當點P在點O左側時，利用三角形的面積公式表示即可；

（3）根據題意畫出相應的示意圖，在x軸上取點F，使得MF＝MB，連接FE、FN，在x軸的正半軸上取一點P '，使得OP'＝OP，連接AP'，過點N作NH⊥AB于點H，先證△P'AB≌△EFB，可得BE＝8－2t，再證△NHB≌△AOP可得NH＝AO＝3，進而可表示出四邊形的面積與的面積，最后根據面積之比為49：10列出方程求解即可求得t的值，再過點E作EG⊥x軸于點G，進而可證得△EGB∽△AOB，通過相似三角形的性質即可求得點E的坐標．

解：（1）

①×3＋②×2，得

13a＝39，

a＝3，

將a＝3代入②得

b＝4，

∴原方程組的解為

∴A（0，3），B（4，0），

∴OA=3，OB＝4，

∴

答：的面積為6；

（2）當0＜t≤2時，

，

當t＞2時，

，

綜上所述：

（3）如圖，在x軸上取點F，使得MF＝MB，連接FE、FN，在x軸的正半軸上取一點P '，使得OP'＝OP，連接AP'，過點N作NH⊥AB于點H，

∵MF＝MB，ME＝MN，

∴四邊形EFNB為平行四邊形，

∴EF∥BN，

∴∠EFB＝∠FBN，

∵OP'＝OP，OA⊥x軸，

∴AP'＝AP，

∴∠APO＝∠AP'O，

∵∠APO＝∠ABN，

∴∠AP'O＝∠ABN，

∴∠P'AB＋∠ABP'＝∠FBN＋∠ABP'，

∴∠P'AB＝∠FBN，

∴∠EFB＝∠P'AB，

∵點M（1.5，0），點B（4，0）

∴MF＝MB＝2.5，

∴BF＝5，

∵AB＝5，

∴AB＝BF，

在△P'AB與△EFB中，

∴△P'AB≌△EFB（ASA）

∴BE＝BP'，

∵BP＝2t，BO＝4,

∴OP'＝OP＝2t－4，

∴BE＝BP'＝OB－OP'＝4－(2t－4)＝8－2t，

∵NH⊥AB，∠AOP＝90°，

∴∠NHB＝∠AOP＝90°，

在△NHB與△AOP中，

∴△NHB≌△AOP（AAS）

∴NH＝AO＝3，

∴

∵ME＝MN，

∴

，

∵

∴

∵

∴ ，

解得

則BE＝8－2t＝

如圖，過點E作EG⊥x軸于點G，

則EG∥y軸，

∴△EGB∽△AOB，

∴

∴

解得，，

∴

∴點E的坐標為（3，）

答：此時t的值為，點E的坐標為（3，）．