Question

【題目】如圖1，D是等邊△ABC外一點，且AD＝AC，連接BD，∠CAD的角平分交BD于E．

（1）求證：∠ABD＝∠D；

（2）求∠AEB的度數；

（3）△ABC 的中線AF交BD于G（如圖2），若BG＝DE，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）

【解析】

(1)利用等邊三角形的性質可得AB=AC,又因為AD＝AC已知，所以AB=AD,進而得到本題答案；

(2) 設∠3=∠D=x°，∠1=∠2=y°，利用等邊三角形的性質以及三角形內角和定理得出∠3+∠D+∠BAD=180°，進而得出答案；

(3)首先得出△ABE≌△ADG ,進而得出∠4=∠AEB=60°,進而求出DE=BG=2GF, AG= BG=2GF, AF=AG+GF=3FG，即可得出答案.

解：（1）∵AB=AC，AD=AC，

∴AB=AD，

∴∠3=∠D（即∠ABD=∠D）

（2）∵AE平分∠CAD，

∴∠1=∠2，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

設∠3=∠D=x°，∠1=∠2=y°，

∵∠3+∠D+∠BAD=180°，

∴x +x + 60° +2y =180°，

∴x +y =60°，

∴∠AEB=∠1+∠D = x +y = 60°；

（3）∵BG=DE，

∴BE=DG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS）

∴∠4=∠AEB=60°

∵△ABC是等邊三角形，F是BC中點，

∴∠AFB=90°，∠7=30°，

∵∠6=90°﹣∠5=30°，

∴DE=BG=2GF，

∵∠3=60°﹣∠6=30°=∠7，

∴AG=BG=2GF，

∴AF=AG+GF=3FG，

∴.